Моделирование коррелированных гауссовых СВ — различия между версиями

Текущая версия на 14:56, 8 мая 2014

При моделировании следящих систем НАП, а так же сигналов многоантенных НАП, возникает задача создания нормальных случайных величин с заданным коэффициентом корреляции.

Рассмотрим решение данной задачи на примере модели шумов статистического эквивалента корреляционных сумм $I_p$ , $I_e$ и $I_l$ .

Содержание

1 Статистический эквивалент коррелятора
2 Многомерная нормальная СВ или вектор случайных величин?
3 Разложение Холецкого
4 Реализация в MATLAB

[править] Статистический эквивалент коррелятора

Статистический эквивалент коррелятора синфазных корреляционных сумм в отсутствии помех можно описать выражениями:

$I_p = A_{IQ} \rho\left(\delta \tau\right) sinc\left(\frac{\delta \omega T}{2}\right) cos\left(\frac {\delta \omega T}{2} + \delta\varphi\right) + n_{Ip},$

$I_{e} = A_{IQ} \rho\left(\delta \tau - \frac{\Delta \tau}{2}\right) sinc\left(\frac{\delta \omega T}{2}\right) cos\left(\frac {\delta \omega T}{2} + \delta\varphi\right) + n_{Ie},$

$I_{l} = A_{IQ} \rho\left(\delta \tau + \frac{\Delta \tau}{2}\right) sinc\left(\frac{\delta \omega T}{2}\right) cos\left(\frac {\delta \omega T}{2} + \delta\varphi\right) + n_{Il},$

которые для полной картины необходимо дополнить определениями $A_{IQ}$ , $\rho()$ и т.д., а так же описанием шумов $n_{Ip}$ , $n_{Ie}$ , $n_{Il}$ .

Математические ожидания СВ $n_{Ip}$ , $n_{Ie}$ , $n_{Il}$ равны нулю, их дисперсии есть

$\sigma_{IQ}^2 = \frac{\sigma_n^2 N}{2}$ ,

где $\sigma_n^2$ - дисперсия шумов на выходе АЦП, $N$ - число суммируемых отсчетов в корреляторе, эти величины считаются известными.

Нетрудно рассчитать попарные взаимные дисперсии:

$M\left[n_{Ip} n_{Ie}\right] = M\left[n_{Ip} n_{Il}\right] = \rho \left( \frac{\Delta \tau}{2} \right) \sigma_{IQ}^2$ ,

$M\left[n_{Ie} n_{Il}\right] = \rho \left( \Delta \tau \right) \sigma_{IQ}^2$ ,

Требуется на ЭВМ, имея генератор случайных нормальных чисел, формировать реализации СВ $n_{Ip}$ , $n_{Ie}$ , $n_{Il}$ .

Примечание. Задача формирования шумов квадратурных сумм - абсолютно аналогична и независима, т.к. шумы между I и Q компонентами не коррелируют и независимы.

[править] Многомерная нормальная СВ или вектор случайных величин?

При синтезе радиотехнических систем часто используются модели, оперирующие с многомерными нормальными случайными величинами. Определение из Википедии:

Случайный вектор $\mathbf{X} = (X_1,\ldots, X_n)^{\top}: \Omega \to \mathbb{R}^n$ имеет многомерное нормальное распределение, если выполняется одно из следующих эквивалентных условий:
Произвольная линейная комбинация компонентов вектора $\sum\limits_{i=1}^n a_i X_i$ имеет нормальное распределение или является константой.
Существует вектор независимых стандартных нормальных случайных величин $\mathbf{Z}=(Z_1,\ldots, Z_m)^{\top}$ , вещественный вектор $\mathbf{\mu} = (\mu_1,\ldots, \mu_n)^{\top}$ и матрица $\mathbf{A}$ размерности $n \times m$ , такие что:

$\mathbf{X} = \mathbf{A} \mathbf{Z} + \mathbf{\mu}$ .

Существует вектор $\mathbf{\mu} \in \mathbb{R}^n$ и неотрицательно определённая симметричная матрица $\mathbf{\Sigma}$ размерности $n \times n$ , такие что характеристическая функция вектора $\mathbf{X}$ имеет вид:

$\phi_{\mathbf{X}}(\mathbf{u}) = e^{i \mathbf{\mu}^{\top} \mathbf{u} - \frac{1}{2}\mathbf{u}^{\top} \Sigma \mathbf{u}},\; \mathbf{u} \in \mathbb{R}^n$ .

Из первого условия следует, что каждая из компонент нормальной векторной СВ имеет нормальное распределение (для компоненты $i$ это вытекает при $a_i = 1$ и остальных коэффициентах комбинации, равных 0). Отсюда часто возникает иллюзия, что нормальность распределений компонент влечет нормальность совместного распределения. Этот тезис не выполняется, на контрпример можно взглянуть тут.

Шумы корреляционных сумм $n_{Ip}$ , $n_{Ie}$ , $n_{Il}$ получены сворачиванием входного шума $n$ с тремя опорными сигналами. Таким образом, выполняется второе необходимое и достаточное условие того, что тройка $n_{Ip}$ , $n_{Ie}$ , $n_{Il}$ имеет многомерное нормальное распределение (если выборку $n$ обозначить как $\mathbf{Z}$ , опорные сигналы записать в виде трех строк матрицы $\mathbf{A}$ , $\mathbf{\mu}$ - вектор-столбец из трех нулей)

Итого, компоненты $\left| {\begin{array}{*{20}{c}} n_{Ip}&n_{Ie}&n_{Il}\\ \end{array}} \right|^T$ образуют многомерную нормальную СВ с нулевым мат. ожиданием и ковариационной матрицей:

$D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} \sigma_{IQ}^2&\rho \left( \frac{\Delta \tau}{2} \right) \sigma_{IQ}^2&\rho \left( \frac{\Delta \tau}{2} \right) \sigma_{IQ}^2\\ \rho \left( \frac{\Delta \tau}{2} \right) \sigma_{IQ}^2&\sigma_{IQ}^2&\rho \left( \Delta \tau \right) \sigma_{IQ}^2\\ \rho \left( \frac{\Delta \tau}{2} \right) \sigma_{IQ}^2&\rho \left( \Delta \tau \right) \sigma_{IQ}^2&\sigma_{IQ}^2 \end{array}} \right|$ .

[править] Разложение Холецкого

Существует разложение матрицы $A$ в виде $A = LL^T$ , где $L$ — нижняя треугольная матрица со строго положительными элементами на диагонали. Данное представление называется разложением Холецкого и относительно легко рассчитывается. Разложение Холецкого всегда существует и единственно для любой симметричной положительно-определённой матрицы.

Применим разложение Холецкого к ковариационной матрице:

$L = chol(D), D = LL^T$ .

Умножим полученную матрицу на вектор-столбец $r$ из трех независимых нормальных стандартных СВ:

$n_I = L r$ .

Компоненты вектора $n_I$ образуют многомерную нормальную случайную величину, т.к. выполняется второе необходимое и достаточное условие.

Нетрудно показать, что вектор математических ожиданий $n_I$ - нулевой, а ковариационная матрица $D = LL^T$ . Таким образом, $n_I$ - требуемая многомерная СВ.

[править] Реализация в MATLAB

Пример использования:

qcno_dB = 45;
N = 10000;
stdn = 8;

stdn_IQ = sqrt(stdn^2 * N /2);

ro1 = 0.75;
ro2 = 0.5;
Dp=stdn_IQ^2; Dpe=ro1*stdn_IQ^2; Del=ro2*stdn_IQ^2;

L=chol([Dp Dpe Dpe;
Dpe Dp Del;
Dpe Del Dp])';

Nj = 1000000;
nIp = nan(1,Nj);
nIe = nan(1,Nj);
nIl = nan(1,Nj);
for j = 1:Nj
nI = L*randn(3,1);

nIp(j) = nI(1);
nIe(j) = nI(2);
nIl(j) = nI(3);
end

fprintf('Corrcoeff nIp nIe = %f\n', mean(nIp.*nIe / std(nIp) / std(nIe) ));
fprintf('Corrcoeff nIl nIe = %f\n', mean(nIl.*nIe / std(nIl) / std(nIe) ));

Вывод:

Corrcoeff nIp nIe = 0.750737
Corrcoeff nIl nIe = 0.500801

Реализация в виде функции (не стоит использовать в цикле, т.к. каждый раз будет вычисляться разложение):

function [X, L] = getCorrelatedRV( D, m )
%GETCORRELATEDRV Returns gaussian corralated random vector

sizeD = size(D);

if (sizeD(1) ~= sizeD(2))
error('Covariance matrix must be square.')
end

if (nargin == 1)
m = zeros(sizeD(1), 1);
elseif ((nargin < 1) || (nargin > 2))
error('Incorrect number of inputs.');
end

if nargin == 2
sizem = size(m);
if sizem(1) == 1
m = m';
sizem = size(m);
end
if sizem(2) > 1
error('Second argument must be vector.');
end
if (sizem(1) ~= sizeD(1))
error('Dimensions of D and m are not consistent.');
end
end

L = chol(D)';

X = L * randn(sizeD(1), 1) + m;

end

Моделирование коррелированных гауссовых СВ — различия между версиями

Текущая версия на 14:56, 8 мая 2014

Содержание

[править] Статистический эквивалент коррелятора

[править] Многомерная нормальная СВ или вектор случайных величин?

[править] Разложение Холецкого

[править] Реализация в MATLAB

Персональные инструменты

Пространства имён

Варианты

Просмотры

Действия

Поиск

SRNS Wiki

Рабочие журналы

Приватный файлсервер

QNAP Сервер

Инструменты

@@ Строка 17: / Строка 17: @@
 Математические ожидания СВ <math>n_{Ip}</math>, <math>n_{Ie}</math>, <math>n_{Il}</math> равны нулю, их дисперсии есть
-<math>\sigma_{IQ}^2 = \frac{\sigma_n^2 L}{2}</math>,
+<math>\sigma_{IQ}^2 = \frac{\sigma_n^2 N}{2}</math>,
-где <math>\sigma_n^2</math> - дисперсия шумов на выходе АЦП, <math>L</math> - число суммируемых отсчетов в корреляторе, эти величины считаются известными.
+где <math>\sigma_n^2</math> - дисперсия шумов на выходе АЦП, <math>N</math> - число суммируемых отсчетов в корреляторе, эти величины считаются известными.
 Нетрудно рассчитать попарные взаимные дисперсии:
-<math>M\left[n_{Ip} n_{Ie}\right] = M\left[n_{Ip} n_{Il}\right] = // \frac{\Delta \tau}{2 \tau_e} \sigma_{IQ}^2 // = \rho \left( \frac{\Delta \tau}{2} \right) \sigma_{IQ}^2</math>,
+<math>M\left[n_{Ip} n_{Ie}\right] = M\left[n_{Ip} n_{Il}\right]  = \rho \left( \frac{\Delta \tau}{2} \right) \sigma_{IQ}^2</math>,
 <math>M\left[n_{Ie} n_{Il}\right] = \rho \left( \Delta \tau \right) \sigma_{IQ}^2</math>,
-''Примечание.'' Задача формирования шумов квадратурных сумм - абсолютно аналогична и независима, т.к. шумы между I и Q компонентами не коррелируют.
+Требуется на ЭВМ, имея генератор случайных нормальных чисел, '''формировать реализации СВ''' <math>n_{Ip}</math>, <math>n_{Ie}</math>, <math>n_{Il}</math>.
+''Примечание.'' Задача формирования шумов квадратурных сумм - абсолютно аналогична и независима, т.к. шумы между I и Q компонентами не коррелируют и независимы.
 == Многомерная нормальная СВ или вектор случайных величин? ==
@@ Строка 44: / Строка 46: @@
 Из первого условия следует, что каждая из компонент нормальной векторной СВ имеет нормальное распределение (для компоненты  <math>i</math> это вытекает при  <math>a_i = 1</math> и остальных коэффициентах комбинации, равных 0). Отсюда часто возникает иллюзия, что нормальность распределений компонент влечет нормальность совместного распределения. Этот тезис не выполняется, на контрпример можно взглянуть [http://risktheory.ru/topic_normmarg.htm тут].
+Шумы корреляционных сумм <math>n_{Ip}</math>, <math>n_{Ie}</math>, <math>n_{Il}</math> получены сворачиванием входного шума <math>n</math> с тремя опорными сигналами. Таким образом, выполняется второе необходимое и достаточное условие того, что тройка <math>n_{Ip}</math>, <math>n_{Ie}</math>, <math>n_{Il}</math> '''имеет многомерное нормальное распределение''' (если выборку <math>n</math> обозначить как <math>\mathbf{Z}</math>, опорные сигналы записать в виде трех строк матрицы <math>\mathbf{A}</math>, <math>\mathbf{\mu}</math> - вектор-столбец из трех нулей)
+Итого, компоненты <math>\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
+n_{Ip}&n_{Ie}&n_{Il}\\
+\end{array}} \right|^T</math> образуют многомерную нормальную СВ с нулевым мат. ожиданием и ковариационной матрицей:
+<math>D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
+\sigma_{IQ}^2&\rho \left( \frac{\Delta \tau}{2} \right) \sigma_{IQ}^2&\rho \left( \frac{\Delta \tau}{2} \right) \sigma_{IQ}^2\\
+\rho \left( \frac{\Delta \tau}{2} \right) \sigma_{IQ}^2&\sigma_{IQ}^2&\rho \left( \Delta \tau \right) \sigma_{IQ}^2\\
+\rho \left( \frac{\Delta \tau}{2} \right) \sigma_{IQ}^2&\rho \left( \Delta \tau \right) \sigma_{IQ}^2&\sigma_{IQ}^2
+\end{array}} \right|</math>.
+== Разложение Холецкого ==
+Существует разложение матрицы <math>A</math> в виде <math>A = LL^T</math>, где <math>L</math> — нижняя треугольная матрица со строго положительными элементами на диагонали. Данное представление называется [http://ru.wikipedia.org/wiki/Разложение_Холецкого разложением Холецкого] и относительно легко рассчитывается. Разложение Холецкого всегда существует и единственно для любой симметричной положительно-определённой матрицы.
+Применим разложение Холецкого к ковариационной матрице:
+<math>L = chol(D), D = LL^T</math>.
+Умножим полученную матрицу на вектор-столбец <math>r</math> из трех независимых нормальных стандартных СВ:
+<math>n_I = L r</math>.
+Компоненты вектора <math>n_I</math> образуют многомерную нормальную случайную величину, т.к. выполняется второе необходимое и достаточное условие.
+Нетрудно показать, что вектор математических ожиданий <math>n_I</math> - нулевой, а ковариационная матрица <math>D = LL^T</math>. Таким образом, <math>n_I</math> - требуемая многомерная СВ.
+== Реализация в MATLAB ==
+Пример использования:
+<source lang="matlab">
+qcno_dB = 45;
+N = 10000;
+stdn = 8;
+stdn_IQ = sqrt(stdn^2 * N /2);
+ro1 = 0.75;
+ro2 = 0.5;
+Dp=stdn_IQ^2; Dpe=ro1*stdn_IQ^2; Del=ro2*stdn_IQ^2;
+L=chol([Dp  Dpe Dpe;
+        Dpe Dp  Del;
+        Dpe Del Dp])';
+Nj = 1000000;
+nIp = nan(1,Nj);
+nIe = nan(1,Nj);
+nIl = nan(1,Nj);
+for j = 1:Nj
+    nI = L*randn(3,1);
+    nIp(j) = nI(1);
+    nIe(j) = nI(2);
+    nIl(j) = nI(3);
+end
+fprintf('Corrcoeff nIp nIe = %f\n', mean(nIp.*nIe / std(nIp) / std(nIe) ));
+fprintf('Corrcoeff nIl nIe = %f\n', mean(nIl.*nIe / std(nIl) / std(nIe) ));
+</source>
+Вывод:
+<source lang="matlab">
+Corrcoeff nIp nIe = 0.750737
+Corrcoeff nIl nIe = 0.500801
+</source>
+Реализация в виде функции (не стоит использовать в цикле, т.к. каждый раз будет вычисляться разложение):
+<source lang="matlab">
+function [X, L] = getCorrelatedRV( D, m )
+%GETCORRELATEDRV Returns gaussian corralated random vector
+sizeD = size(D);
+if (sizeD(1) ~= sizeD(2))
+    error('Covariance matrix must be square.')
+end
+if (nargin == 1)
+    m = zeros(sizeD(1), 1);
+elseif ((nargin < 1) || (nargin > 2))
+    error('Incorrect number of inputs.');
+end
+if nargin == 2
+    sizem = size(m);
+    if sizem(1) == 1
+        m = m';
+        sizem = size(m);
+    end
+    if sizem(2) > 1
+        error('Second argument must be vector.');
+    end
+    if (sizem(1) ~= sizeD(1))
+        error('Dimensions of D and m are not consistent.');
+    end
+end
+L = chol(D)';
+X = L * randn(sizeD(1), 1) + m;
+end
+</source>
 [[Category:ММ РУиС (дисциплина)‎]]
+[[Category:Моделирование]]